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この項目では、球（きゅう）について記述しています。球（たま）については「ボール」をご覧ください。

球

球（きゅう、ball）あるいは球体（きゅうたい、solid sphere）とは、空間上のある 1 点から等距離にあるすべての点の集合である球面 (sphere) とその内部にある点からなる集合。通常は3次元空間にあるものを指す場合が多い。

3次元空間の球

以下、S は表面積、V は体積、π は円周率、r は半径を表す。

表面積

S = 4π r 2

（証明例）半径 r の球は半円 $y=\sqrt{r^2-x^2}$ を x 軸周りに回転することによって得られる。ある x から x + Δx にかけての微小な表面積 ΔS は

$\Delta S=2\pi y\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=2\pi y\sqrt{1+(\frac{\Delta y}{\Delta x})^2}\Delta x$

となる。したがって表面積 S は

$S=2\pi \int_{-r}^{r}y\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}dx=2\pi \int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2} \sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}dx=2\pi r\int_{-r}^{r}dx=4\pi r\int_{0}^{r}dx =4\pi r^2$

別の算出法としては、カヴァリエリの原理を用いて、球の表面積は、その球が内接する円柱の側面の面積と等しいというものがある。

円柱の中心と鉛直に、極限まで薄く断面のスライスをとったとき、スライスの位置をθ(ラジアン)、幅をdθ(ラジアン)、球および円柱の半径をrとすると、球の表面のスライスの面積はrdθ×2π(rcosθ)となる。円柱側面のスライスはrdθcosθ×2πrとなり、これらは等しい。すなわち内接する円柱の側面積に等しい。よって2r×2πr=4πr²

カヴァリエリの原理による表面積の求め方の説明図

またこの幅rdθのスライスを回転させたものは、円周2π(r・cosθ)であり、面積は

$2 \pi r \cos \theta \cdot r d\theta$

積分すると

$S= \int_{-\frac {\pi} 2}^{\frac \pi 2} 2 \pi ( r \cos \theta) \cdot r d\theta =2 \pi r^2 \{ \sin \frac \pi 2 - \sin ( - \frac \pi 2) \} =4\pi r^2$

体積

$V = \frac{4}{3} \pi r^3$

「身 (3) の上 (/) に心 (4) 配 (π) ある (r) 参上（3乗）」と覚える。

（証明例）半球の底面を z = 0 とすると、z 軸と直交する球内の平面の面積 S(z) は半径 $\sqrt{r^2-z^2}$ の円の面積に等しい。したがって S(z) = π ( r² - z²) であり、半球の体積は

$\frac{V}{2}=\int_{z=0}^{z=r}S(z)dz=\pi\int_0^r(r^2-z^2)dz=\pi\left[r^2z-\frac{z^3}{3}\right]_{0}^{r}=\pi\left(r^3-\frac{r^3}{3}\right)=\frac{2}{3}\pi r^3$